Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm là gì? Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

Đạo hàm

Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$.

Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ được ký hiệu là $y^{\prime }\left(x_0\right)$ hoặc $f^{\prime }\left(x_0\right)$:

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

hoặc

$$y^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• Số gia của đối số là $\Delta x=x-x_0$
• Số gia của hàm số là $\Delta y=y-y_0$

Nói 1 cách dễ hiểu:
Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ
giá trị đạo hàm tại 1 điểm $x_0$ thể hiện:

• Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -)
• Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x)

Đạo hàm một bên

• Đạo hàm bên trái của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$ là khi $\Delta x\to 0^{-}$ (tức $x\to x_0$ và nhỏ hơn $x_0$)
  • Ký hiệu: $f^{\prime }\left(x_0^{-}\right)$
• Đạo hàm bên phải của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$ là khi $\Delta x\to 0^{+}$ (tức $x\to x_0$ và lớn hơn $x_0$)
  • Ký hiệu: $f^{\prime }\left(x_0^{+}\right)$
• $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$ <=> $f^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0^{-}\right)=f^{\prime }\left(x_0^{+}\right)$

Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Hàm số liên tục

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu ${lim}_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Chú ý: $y=f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$ nếu thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

• $f\left(x\right)$ xác định tại $x_0$.
• ${lim}_{x\to x_0}f\left(x\right)$ tồn tại.
• ${lim}_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Nhắc lại giới hạn của hàm số: Giới hạn của hàm số - lim

Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

• Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.
• Nếu hàm số không liên tục tại $x_0$ thì không có đạo hàm tại điểm đó.

Lưu ý: Hàm số liên tục tại điểm $x_0$ thì chưa chắc có đạo hàm tại $x_0$

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0,f(x_0\left)\right)$ đó.

=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: $y-y_0=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$

Ý nghĩa vật lý

Xét chuyển động thẳng $s=f\left(t\right)$

Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là: $v\left(t_0\right)=s^{\prime }\left(t_0\right)=f^{\prime }\left(t_0\right)$

Còn gia tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động:

$$a\left(t_0\right)=f^{\prime \prime }\left(t_0\right)$$

Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

$$Q=f\left(t\right)$$

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm $t_0$: $I\left(t_0\right)=Q^{\prime }\left(t_0\right)=f^{\prime }\left(t_0\right)$